Matemáticas no tan básicas. Riesgo de ruina

En la entrada anterior sobre la varianza demostramos mediante la simulación del resultado de torneos S&G que, conocida la distribución de los resultados, se puede calcular con bastante precisión la varianza de estos resultados. Podemos calcular la varianza pero eso no evita que las ganancias evolucionen de forma, aparentemente, caprichosa e imprevisible.

En esta entrada vamos a analizar el Riesgo de ruina (Risk of Ruin)

¿qué es el riesgo de ruina? es la probabilidad de que nuestro saldo llegue a 0 (bancarrota), considerando que partimos de un saldo inicial, que reinvertimos todas las ganancias, que las características del juego se mantienen constantes y que jugamos indefinidamente.

Las fórmulas están sacadas del excelente libro Mathematics of Poker, donde se demuestran los desarrollos y se profundiza bastante en otros aspectos (por ejemplo, cómo calcular el riesgo de ruina sin tener un winrate constante).

Las fórmulas que permiten calcular el Riesgo de ruina (RoR) son las siguientes:


En (1), vemos que el RoR depende de un factor constante (alfa) y de nuestro saldo inicial (B). El factor alfa está relacionado, de alguna manera, con el EV de nuestro juego. De manera que si el EV es negativo, el RoR es 1 (100%, seguro, indudable, incuestionable). Primera conclusión: lo primero que hay que hacer es ser ganador porque, si no, acabaremos arruinados "sí-o-sí".

La fórmula (2) permite calcular el RoR sin calcular previamente el factor alfa utilizando, en su lugar, la media y la desviación típica cuadrada (la varianza). Para usar esta fórmula necesitamos que los resultados de nuestro juego se ajustan a una distribución normal. Esta fórmula no se puede usar para calcular el RoR de tórneos cuyos resultados no se ajustan a una distribución normal. Ojo: los resultados de un jugador ganador en torneos no siguen una distribución normal, ya que son, necesariamente, asimétricos (y con curtosis).
Esta fórmula la pueden usar los jugadores de mesas NL que sí tienen una distribución normal de sus ganancias.


Simulaciones
He reproducido, lo más fielmente posible, el escenario de mi juego actual y he simulado 10.000 partidas (torneos) con los resultados que podéis ver al final.

Escenario
- Torneos S&G de 9 jugadores, 50,5$ de entrada y premios para los tres primeros (22,5$, 13,5$ y 9$).
- Resultados en forma de probabilidad de quedar en los tres primeros puestos: 0,10, 0,15 y 0,15. El resto de puestos (sin premio) se reparten el 0,6 restante. Estos son mis resultados en los últimos 100 torneos (aproximadamente).
- Entramos en premios en el 40% de los torneos.
- EV por torneo: 0,69$ (0,125). Positivo como debe ser.

Resultado
Calcular alfa requiere resolver la ecuación (1) para varios valores de B. Con excel se puede resolver la ecuación por métodos numéricos ("iSolver" lo llama Microsoft, "Análisis Y si" en español).
Para el escenario descrito alfa vale 0,00063397
Una vez calculado alfa podemos aplicar (1) para diferentes valores de B ("banca" o "saldo" inicial) y obtener una tabla como la que sigue:

Saldo   RoR
20 98,74%
50 96,87%
100 93,85%
250 85,34%
500 72,83%
1000 53,04%

Segunda conclusión: el RoR decrece exponencialmente. Para jugar tranquilos S&G de 5,5$ de entrada necesitaríamos 500$ (90 veces la entrada).


Recordemos que el RoR se cálcula sobre "infinitas" ejecuciones y no tiene en cuenta cambios de nivel, reintegros o nuevas aportaciones a nuestra cuenta que no sean los propios torneos ganados o perdidos.

A continuación se muestra el resultado de ejecutar la simulación con diferentes saldos iniciales.