Matemáticas no tan básicas. Teorema de Bayes

El teorema de Bayes relaciona la probabilidad de ocurrencia de un suceso a partir de la constatación de un hecho (un "hecho cierto") cuya probabilidad de que ocurra está condicionado al primero. No se entiende muy bien, ¿verdad?

Otra forma de verlo: el suceso A depende de B, ¿cómo puedo precisar la probabilidad de A si ya sabemos que B ha ocurrido y conocemos en qué grado B depende A? Ojo, "B depende de A" (su grado de dependencia) es lo opuesto de lo que queremos calcular.

En la práctica y explicado de moda intuitiva: Bayes sirve para corregir una estimación (una probabilidad) con la información que vamos recopilando. En el caso del Poker, tenemos una estimación inicial que según avanza la mano podemos corregir con la información que vamos recibiendo.

ENUNCIADO Y DEMOSTRACIÓN MATEMATICA

(1) es la probabilidad de que los sucesos A y B ocurran. Su valor es la probabilidad de que ocurra A -P(A)- multiplicado por la probabilidad de "que ocurra B si A ha ocurrido -P(B|A)-". Esta igualdad es intuitiva y conmutativa.

(2.1) aplicamos (1) para despejar P(A|B).
(2.2) En el numerador volvemos a aplicar (1) y en el denominador sustituimos P(B) ("probabilidad de que ocurra B") por "la probabilidad de que ocurra B si ocurre A (según la probabilidad de A) y la probabilidad de B si no ocurre A (según la probabilidad de que no ocurra A)".
Esto último siempre es cierto (porque A siempre "o se cumple o no se cumple")

(3) Es la fórmula genérica de Bayes.


EJEMPLO PRÁCTICO
Ahora vamos a poner un ejemplo aplicado al poker. Imagina que recibes KQo y estás jugando HU contra el mejor jugador del mundo que, además, ha adivinado (o visto) tu jugada.
Tu rival, además de ser clarividente, se juega un 15% de faroles, es decir, hay un 15% de probabilidades de que no teniendo una jugada mejor que la de su rival haga una subida.
Por otra parte, tu rival hace slowplay el 10% de las veces, es decir, hay un 10% de probabilidades de que teniendo una jugada mejor que la de su rival no suba. O lo que es lo mismo, el 90% de las veces que tiene una buena jugada hace una apuesta por valor (value bet).
Fijaros que 15% (porcentaje de faroles) y 90% (porcentaje de value bets) no suman 100% ¿por qué? porque son dos sucesos independientes: nuestro rival puede aumentar su ratio de faroles sin cambiar el ratio de slowplay.
Vamos a suponer que hay un 11,8% de manos mejores que KQo (88,2% de las posibles manos serían peores).

Pues bien, tu rival sube y quieres saber cuál es la probabilidad de que tenga una jugada mejor que la tuya.

Datos de partida para poder aplicar Bayes:
- P(Raise|Jugada) = 90%. Probabilidad de que el villano haga raise si tiene jugada
- P(Raise|No_Jugada) = 15%. Idem si no tiene jugada (farol = bluff)
- P(Jugada) = 88,2%. Probabilidad de que tenga una jugada (mejor que la nuestra)
- P(No_Jugada) = 11,8%. Probabilidad de que no tenga jugada
- P(Jugada) + P(No_Jugada) = 1. La probabilidad de tener o no tener jugada son complementarias y suman 1.

¿qué queremos calcular?
Queremos conocer P(Jugada|Raise) que es "la probabilidad de que este cabrón tenga una jugada mejor que nosotros ahora que hemos visto que ha subido".

P(Jugada|Raise) = P(Raise|Jugada) * P(Jugada) / ( P(R|J)*P(J) + P(R|N)*P(N) ) = 0,44

Con estas condiciones el villano tiene una probabilidad de tener una jugada mejor que la nuestra de un 44%


Curioso, ¿no?
Como el villano hace value bet casi siempre (90%) y sólo hace faroles unas pocas veces (15%) parecería que casi siempre que apuesta debería tener una jugada y, sin embargo, el 56% de las veces que apuesta no tiene nada.



Referencias: El teorema de Bayes en Wikipedia